Sabtu, 19 Maret 2016

Rente



Makalah Matematika Kejuruan
“RENTE”


  Dosen pembimbing
    Achmad Dhany F. S.Pd., M.Pd.
                                               kelompok II           
       Estu yen retno asun (1431032)

     Pendidikan Matematika 2014 A

    STKIP PGRI SIDOARJO
   TAHUN AJARAN 2015-2016





PEMBAHASAN
                                                                                             
A.           Pengertian Rente
Rente adalah rentetan modal yang dibayarkan atau diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang besarnya selalu samaatau tetap. Rente biasanya dilakukan setiap awal atau akhir periode. Misal: tanggal 1 setiap bulan, setiap awal bulan setiap awal tahun, setiap tanggal 31 setiap bulan, setiap akhir bulan, dan setiap akhir tahun.
B.            Jenis-jenis Rente
1.  Berdasarkan waktu pembayarannya rente dibedakan menjadi dua, yaitu:
a)        Rente pra-numerando adalah suatu rente dengan waktu pembayarannya dilakukan setiap awal periode, misalnya tanggal 1pada setiap bulan atau tanggal 1 Januari pada setiap tahun.
b)        Rente post-numerando adalah suatu rente dengan waktu pembayarannya dilakukan setiap akhir periode, misalnya tanggal 30 pada setiap bulan atau tanggal 30 Desember pada setiap tahun.
2.  Bedasarkan banyaknya angsuran rente dibagi menjadi dua, yaitu
a)        Rente terbatas adalah rente yang pembayaran angsurannya dilakukan dalam periode yang terbatas.
b)        Rente kekal adalah rente dengan banyaknya angsuran yang tidak terbatas, misal k kali angsuran dengan k tak hingga.
3. Berdasarkan langsung tidaknya pembayaran atau angsuran pertama, rente dibagi menjadi dua, yaitu:
a)        Rente langsung adalah rente yang pembayaran angsuran pertamanya dilakukan langsung pada awal atau akhir masa bunga pertama.
b)        Rente yang ditangguhkan atau ditunda adalah rente yang pembayaran angsuran pertamanya tidak dilakukan langsung pada awal atau akhir masa bunga pertama tetapi ditangguhkan atau ditunda beberapa waktu.
C.           Nilai Akhir Rente
Nilai akhir rente adalah nilai akhir dari semua angsuran yang diperhitungkan keakhir periode terakhir.

1.        Nilai Akhir Rente Pranumerando
       ilai Akhir Rente Pranumerando yaitu jumlah nilai akhir dari semua pembayaran angsuran pranumerando, dihitung pada akhir jangka waktu pembayaran terakhir. Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun, dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai akhir dari angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
Angsuran
Ke-
Besar Angsuran
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
Nilai akhir setelah n periode
1
M1
n
M(1 + i)n
2
M2
(n – 1 )
M(1 + i)n-1
n – 1
Mn-1
2
M(1 + i)2
N
Mn
1
M(1 + i)1
Nilai Akhir Rente

Maka dapat dilihat dari tabel tersebut bahwa nilai akhir dari rente pranumerando adalah jumlah nilai akhir dari setiap angsurannya, sehingga dapat diuraikan sebagai berikut:
Na pra = M(1 + i)1 + M(1 + i)2 + M(1 + i)3 + … + M(1 + i)n-3 + M(1 + i)n-2 + M(1 + i)n-1 + (1 + i)n
Ini merupakan bentuk deret geometri dari rente pranumerando.
Ada dua cara untuk menentukan nilai akhir rente pranumerando, yaitu:
Ø  Cara I :
Dengan meggunakan notasi sigma, maka perhitungan diatas dapat ditulis sebagai berikut.
  

 





Ø  Cara II :
Cara ini merupakan cara menentukan nilai akhir rente pranumerando dengan menggunakan deret geometri yang sudah tertera diatas, dimana dengan keterangan  dan . sehingga Na sama dengan jumlah deret geometri.
Na = Sn =
     =
Jadi, nilai akhir rente pranumerando dapat ditentukan pula dengan rumus berikut.
 



v  Contoh :
Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 3% pertahun. Maka berapakah jumlah uang yang diterima pada tahun ke 6?
Penyelesaian:
Diketahui : M = Rp.1.000.000,- ,  n = 6, dan  i = 3 % = 0,03
 
            = Rp1.000.000 X  
            = Rp1.000.000 X 6,6624622
            = Rp333.123,11
Jadi, jumlah uang yan diterima adalah Rp333.123,11
2.        Nilai Akhir Rente Postnumerando
Nilai Akhir Rente Postnumerando yaitu jumlah nilai akhir dari semua pembayaran angsuran postnumerando dihitung pada akhir jangka waktu pembayaran terakhir Seperti contoh, setiap akhir bulan Rafi menabung sebesar (M) di bank yang member bunga (p%) sebulan. Berapakah tabungannya setelah (n). Maka persoalan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:
Angsuran
Ke-
Besar Angsuran
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
Nilai akhir setelah n periode
1
M1
(n -1)
M(1 + i)n-1
2
M2
(n – 2 )
M(1 + i)n-2
n – 1
Mn-1
1
M(1 + i)t
N
Mn
0
M
Nilai Akhir Rente

Maka dari tabel tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
Na post = M + M(1 + i)1 + M(1 + i)2 + M(1 + i)3 + … + M(1 + i)n-3 + M(1 +  i)n-2 + M(1 + i)n-1
Na pra = M + M{(1 + i)1 + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)n-3 + (1 + i)n-2 + (1 + i)n-1 }
Ini merupakan bentuk deret geometri dari rente postnumerando.
Ada dua cara untuk menentukan nilai akhir rente postnumerando, yaitu.
Ø  Cara I
Dengan meggunakan notasi sigma, maka perhitungan diatas dapat ditulis sebagai berikut.

 




Ø  Cara II
Dengan mengaplikasikan deret geometri yang serupa dengan perhitungan rente pranumerando, nilai akhir rente postnumerando dirumuskan sebagai berikut.

 



v  Contoh
Setiap akhir tahun Rafi menyimpan uangnya di bank sebesar Rp800.000 selama 25 tahun. Jika bank member suku bunga 5% pertahun. Tentukan jumlah simpanan uang Rafi!
Penyelesaian
Diketahui : M = Rp800.000,00, i = 5% , dan t =25
          = 800.000,00 + 800.000,00 X
          = 800.000,00+ (800.000,00 X 46,7270988)
          = 800.000,00 + 37.381.679,04 = Rp38.181.679,04
Jadi, jumlah uang yang diterima Rafi adalah Rp38.181.679,04
D.           Nilai Tunai Rente
Nilai tunai rente adalah jumlah nilai tunai dari semua angsuran yang diperhitungkan pada awal transaksi.
1.        Nilai Tunai Rente Pranumerando
Nilai Tunai Rente Pranumerando yaitu jumlah nilai tunai dari semua pembayaran angsuran pranumerando yang dihitung pada permulaan jangka waktu pembayaran pertama. Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun, dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai dari angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut.
Angsuran
Ke-
Besar Angsuran
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
Nilai akhir setelah n periode
1
M1
0
M
2
M2
1
n - 1
Mn-1
n – 2
N
Mn
n – 1
Nilai Tunai Rente

Maka dapat dilihat dari tabel tersebut bahwa nilai tunai dari rente pranumerando adalah jumlah nilai tunai dari setiap angsurannya, sehingga dapat diuraikan sebagai berikut.
 
Ini merupakan bentuk deret geometri dari rente pranumerando. Ada dua cara untuk menentukan nilai tunai rente pranumerando, yaitu:
Ø  Cara I
Dengan meggunakan notasi sigma, maka perhitungan diatas dapat ditulis sebagai berikut.

 





Ø  Cara II
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri untuk menentukan nilai akhir rente pranumerando dengan  dan  maka nilai tunai rente pranumerando dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

    



v  Contoh
Sebuah perusahaan tempe mempunyai kewajiban untuk membayar angsuran ke bank dengan jumlah yang sama yaitu Rp3.000.000,00 setiap tanggal 1 Januari selama 5 tahun. Angsura pertama dibayar pada tanggal 1 Januari 2005. Apabila perusahaan tempe ingin menyelesaikan kewajiban tersebut seluruhnya pada tanggal 1 Januari 2005, maka berapakah besar yang harus dibayar jika bank memberikan bungan   setahun?
Penyelesaian:
Diketahui : M = Rp3.000.000,00, i = , dan n =5
      =
      =
      = Rp3.000.000,00 (1 + 3,6730792)
      = Rp3.000.000,00(4,6730792) = Rp14.019.237,6
Jadi, perusahaan tempe harus membayar Rp14.019.237,6
2.        Nilai Tunai Rente Postnumerando
Nilai Tunai Rente Postnumerando yaitu jumlah nilai tunai dari semua pembayaran angsuran postnumerando dihitung pada awal jangka waktu pembayaran pertama. Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun, dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai (Nt post) dari angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut :
Angsuran
Ke-
Besar Angsuran
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
Nilai akhir setelah n periode
1
M1
1
2
M2
2
n – 1
Mn-1
n – 1
n
Mn
N
Nilai Tunai Rente

Maka dari tabel tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
 

Ø  Cara I
Dengan menggunakan rumus sigma, maka dapat ditulis sebagai berikut.
                                                                                                                



Ø  Cara II
Dengan mengaplikasikan deret geometri maka nilai tunai rente postnumerando dapat ditulis dengan rumus sebagai berikut.

 




v  Contoh
Sebuah panti jompo akan menerima bantuan sebesar Rp200.000,00 setiap akhir bulan dari sebuah perusahaan mulai 31 Maret 2010 sampai dengan akhir Desember 2011. Jika bantuan tersebut dibayarkan sekaligus pada akhir Maret2010 dengan pehitungan bunnga 3,5% sebulan. Berapakah jumlah yang akan diterima panti jompo tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui : M = Rp200.000,00, i = 3,5% , dan t =20
         =
           = Rp200.000,00 X 14,2124033 = Rp2.842.480,66
Jadi, panti jompo menerima uang Rp2.842.480,66
E.            Rente Kekal
Rente kekal adalah rente yang pembayaran angsurannya dilakukan selama jangka waktu yang tidak terbatas. Untuk rente kekal hanya dapat dibicrakan nilai tunainya saja.
1.        Rente Kekal Pranumerando
Rente kekal pranumerando adalah rente yang pembayaran angsurannya dilakukan setiap awal periode dalam waktu yang tidak terbatas (selamanya).
Seperti contoh, jika panti asuhan menerima bantuan pada setiap awal bulan dari perusahaan sebesar M secara terus menerus. Akan tetapi pengurus panti menginginkan agar bantuan tersebut dibayarkan sekaligus pada awal masa bunga pertama. Jika diperhitungkan dengan suku bunga majemuk p% sebulan, hitunglah  nilai tunai yang diterima oleh panti asuhan tersebut. Maka dapat diuraikan sebagai berikut.
Angsuran
Ke-
Besar Angsuran
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
Nilai akhir setelah n periode
1
M1
0
M
2
M2
1
3
M3
2
Nilai Tunai Rente


Maka dari tabel tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
 
Maka dari sebuah deret geometri tak hingga tersebut dengan  dan .
Dengan mengaplikasikan deret geometri tak hingga tersebut, maka diperoleh rumus nilai tunai rente pranumerando sebagai berikut.

 




v  Contoh
Suatu yayasan panti asuhan setiap awal bulan selalu menerima bantuan dari sebuah donator sebesar Rp2.000.000,00 secara terus menerus. Pengurus panti menginginkan agar bantuan tersebut dibayarkan saja sekaligus pada awal masa bunga pertama. Jika diperhitungkan dengan suku bunga majemuk 3% sebulan. Maka hitunglah nilai tunai yang diterima panti asuhan tersebut.
Penyelesaian
Diketahui : M = Rp2.000.000,00 dan  i = 3% = 0,03
                 = Rp2.000.000,00 +
                = Rp2.000.000,00 + Rp100.000.000,00 = Rp102.000.000,00
Jadi, jumlah uang yang diterima panti asuhan adala Rp102.000.000,00
2.        Rente Kekal Postnumerando
Rente kekal postnumerando adalah rente yang pembayaran angsurannya dilakukan setiap akhir periode dalam waktu yang tidak terbatas (selamanya).
Seperti contoh, ayah Dimas adalah veteran pejuang kemerdekaan, karena itu mulai tanggal 31 Januari 2007 Dimas mendapat beasiswa sebesae M secara terus-menerus. Jika Dimas ingin menerima beasiswa tersebut sekaligus pada tanggal 1 Januari 2007 diperhitungkan dengan bunga p% sebulan, maka berapakah jumlah yang akan Dimas, hal ini akan dijelaskan sebagai berikut.
Angsuran
Ke-
Besar Angsuran
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
Nilai akhir setelah n periode
1
M1
0
2
M2
1
3
M3
2
Nilai Tunai Rente

Maka dari tabel tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
 
Maka dari sebuah deret geometri tak hingga tersebut dengan  dan .
Denngan mengaplikasikan deret geometri tak hingga tersebut, maka diperoleh rumus nilai tunai rente postnumerando sebagai berikut.

 



v  Contoh
Tentukan nilai tunai rente kekal postnumerando dari suatu modal Rp40.000 dengan suku bunga 0,75%!
Penyelesaian
Diketahui : M = Rp40.000 dan i = 0,75%
                         =
                         = Rp5.333.333,33
Jadi nilai tunai rente kekal postnumerando adalah Rp5.333.333,33
F.            Rente yang Ditangguhkan
Semua rente di atas adalah rente langsung, yaitu rente yang angsurannya dibayar sejak awal periode. Rente yang ditangguhkan adalah rente yang angsurannya dilakukan setelah beberapa periode (angsuran pertama).
Perhitungan pada rente ini adalah nilai tunai yang dirumuskan sebagai berikut.
 





v  Contoh
Pada tanggal 1 Januari 2007 Agusta meminjam uang di bank. Pinjaman itu akan dilunasi dengan cara mencicil dengan jumlah angsuran yang sama, yaitu Rp200.000 setiap awal bulan. Anngsuran pertama dibayar pada tanggal 1Mei 2007 dan seterusnya hingga berakhir pada tanggal 1 Desember 2007, jika diperhitungkan dengan suku bunga majemuk 3% sebulan. Berapakah besar pinjaman Agusta pada tanggal 1 Januari 2007 itu?
Penyelesaian
Diketahui : M = Rp200.000, i = 3% per bulan, s = 4 bulan dan n = 12

                   =
                   = 6.666.666,67 ( 0,91514 – 0,72242)
                   = Rp1.284.811,06
Jadi, besar pinjaman Agusta adalah Rp1.284.811,06

                                                DAFTAR PUSTAKA

Sarjono, Bandung A. Dkk. 2008. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Derektorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan.
Pratikno, dkk. 2008. Mahir Matematika untuk SMK (NonTeknik) Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
                   Kuriawan, A, dkk. 2010. Matematika Kelas XI SMK Kelompok Akuntansi dan penjualan

1 komentar:

  1. Nama saya Aditya Aulia saya mengalami trauma keuangan karena saya ditipu dan ditipu oleh banyak perusahaan pinjaman online dan saya pikir tidak ada yang baik bisa keluar dari transaksi online tapi semua keraguan saya segera dibawa untuk beristirahat saat teman saya mengenalkan saya. untuk Ibu pada awalnya saya pikir itu masih akan menjadi permainan bore yang sama saya harus memaksa diri untuk mengikuti semua proses karena mereka sampai pada kejutan terbesar saya setelah memenuhi semua persyaratan karena permintaan oleh proses saya bisa mendapatkan pinjaman sebesar 350jt di rekening Bank Central Asia (BCA) saya saat saya waspada di telepon saya, saya tidak pernah mempercayainya, agaknya saya bergegas ke Bank untuk memastikan bahwa memang benar ibu kontak sekarang mengalami terobosan pemanasan jantung dalam kehidupan finansial Anda melalui apakah itu BBM INVITE-nya: {D8980E0B} atau apakah kamu ingin mengkonfirmasi dari saya? Anda bisa menghubungi saya melalui surat saya: {aditya.aulia139@gmail.com} dan juga Anda bisa menghubungi perusahaan ISKANDAR LESTARI LOAN COMPANY (ISKANDAR LENDERS) via: {mail:iskandalestari.kreditpersatuan@gmail.com}

    e_mail:::[aditya.aulia139@gmail.com]
    [iskandalestari.kreditpersatuan@gmail.com]
    WhatsApp:::[+44] 7480 729811[Chats Only]
    Telephone Number☎[+44] 7480 729811[Calls Only]
    BBM INVITE:::[D8980E0B]

    BalasHapus