Makalah
Matematika Kejuruan
“RENTE”
Dosen
pembimbing
Achmad Dhany F. S.Pd., M.Pd.
kelompok II
Estu yen
retno asun (1431032)
Pendidikan Matematika 2014 A
STKIP PGRI SIDOARJO
TAHUN AJARAN 2015-2016
PEMBAHASAN
A.
Pengertian
Rente
Rente adalah rentetan modal yang dibayarkan atau
diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang besarnya selalu samaatau tetap.
Rente biasanya dilakukan setiap awal atau akhir periode. Misal: tanggal 1
setiap bulan, setiap awal bulan setiap awal tahun, setiap tanggal 31 setiap
bulan, setiap akhir bulan, dan setiap akhir tahun.
B.
Jenis-jenis
Rente
1. Berdasarkan waktu pembayarannya rente
dibedakan menjadi dua, yaitu:
a)
Rente pra-numerando adalah suatu rente
dengan waktu pembayarannya dilakukan setiap awal periode, misalnya tanggal
1pada setiap bulan atau tanggal 1 Januari pada setiap tahun.
b)
Rente post-numerando adalah suatu rente
dengan waktu pembayarannya dilakukan setiap akhir periode, misalnya tanggal 30
pada setiap bulan atau tanggal 30 Desember pada setiap tahun.
2. Bedasarkan banyaknya angsuran rente dibagi
menjadi dua, yaitu
a)
Rente terbatas adalah rente yang
pembayaran angsurannya dilakukan dalam periode yang terbatas.
b)
Rente kekal adalah rente dengan
banyaknya angsuran yang tidak terbatas, misal k kali angsuran dengan k tak
hingga.
3. Berdasarkan langsung tidaknya pembayaran atau
angsuran pertama, rente dibagi menjadi dua, yaitu:
a)
Rente langsung adalah rente yang
pembayaran angsuran pertamanya dilakukan langsung pada awal atau akhir masa
bunga pertama.
b)
Rente yang ditangguhkan atau ditunda
adalah rente yang pembayaran angsuran pertamanya tidak dilakukan langsung pada
awal atau akhir masa bunga pertama tetapi ditangguhkan atau ditunda beberapa
waktu.
C.
Nilai
Akhir Rente
Nilai akhir
rente adalah nilai akhir dari semua angsuran yang diperhitungkan keakhir
periode terakhir.
1.
Nilai Akhir Rente Pranumerando
ilai Akhir Rente Pranumerando yaitu
jumlah nilai akhir dari semua pembayaran angsuran pranumerando, dihitung pada
akhir jangka waktu pembayaran terakhir. Misalkan dengan modal (M) setiap tahun
dalam periode (n) tahun, dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai
akhir dari angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
Angsuran
Ke-
|
Besar Angsuran
|
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
|
Nilai akhir setelah n periode
|
1
|
M1
|
n
|
M(1 + i)n
|
2
|
M2
|
(n – 1 )
|
M(1 + i)n-1
|
n – 1
|
Mn-1
|
2
|
M(1 + i)2
|
N
|
Mn
|
1
|
M(1 + i)1
|
Nilai Akhir Rente
|
Maka
dapat dilihat dari tabel tersebut bahwa nilai akhir dari rente pranumerando
adalah jumlah nilai akhir dari setiap angsurannya, sehingga dapat diuraikan
sebagai berikut:
Na pra
= M(1 + i)1 + M(1 + i)2 + M(1 + i)3 + … + M(1
+ i)n-3 + M(1 + i)n-2 + M(1 + i)n-1 + (1 + i)n
Ini merupakan bentuk
deret geometri dari rente pranumerando.
Ada dua cara untuk
menentukan nilai akhir rente pranumerando, yaitu:
Ø Cara
I :
Dengan meggunakan
notasi sigma, maka perhitungan diatas dapat ditulis sebagai berikut.
Ø Cara
II :
Cara ini merupakan
cara menentukan nilai akhir rente pranumerando dengan menggunakan deret
geometri yang sudah tertera diatas, dimana dengan keterangan
dan
. sehingga Na sama dengan jumlah
deret geometri.
Na =
Sn =
=
Jadi, nilai akhir
rente pranumerando dapat ditentukan pula dengan rumus berikut.
v
Contoh :
Setiap awal tahun
disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 3%
pertahun. Maka berapakah jumlah uang yang diterima pada tahun ke 6?
Penyelesaian:
Diketahui : M
= Rp.1.000.000,- , n = 6, dan i = 3 % = 0,03
= Rp1.000.000 X
= Rp1.000.000 X 6,6624622
= Rp333.123,11
Jadi, jumlah uang
yan diterima adalah Rp333.123,11
2.
Nilai Akhir Rente Postnumerando
Nilai
Akhir Rente Postnumerando yaitu jumlah nilai akhir dari semua pembayaran angsuran
postnumerando dihitung pada akhir jangka waktu pembayaran terakhir Seperti
contoh, setiap akhir bulan Rafi menabung sebesar (M) di bank yang member
bunga (p%) sebulan. Berapakah tabungannya setelah (n). Maka
persoalan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:
Angsuran
Ke-
|
Besar Angsuran
|
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
|
Nilai akhir setelah n periode
|
1
|
M1
|
(n -1)
|
M(1 + i)n-1
|
2
|
M2
|
(n – 2 )
|
M(1 + i)n-2
|
n – 1
|
Mn-1
|
1
|
M(1 + i)t
|
N
|
Mn
|
0
|
M
|
Nilai Akhir Rente
|
Maka dari tabel
tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
Na post
= M + M(1 + i)1 + M(1 + i)2 + M(1 + i)3 + … +
M(1 + i)n-3 + M(1 + i)n-2
+ M(1 + i)n-1
Na pra
= M + M{(1 + i)1 + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … +
(1 + i)n-3 + (1 + i)n-2 + (1 + i)n-1 }
Ini merupakan bentuk
deret geometri dari rente postnumerando.
Ada dua cara untuk
menentukan nilai akhir rente postnumerando, yaitu.
Ø Cara
I
Dengan meggunakan
notasi sigma, maka perhitungan diatas dapat ditulis sebagai berikut.
Ø
Cara II
Dengan
mengaplikasikan deret geometri yang serupa dengan perhitungan rente
pranumerando, nilai akhir rente postnumerando dirumuskan sebagai berikut.
v Contoh
Setiap akhir tahun Rafi menyimpan uangnya di bank
sebesar Rp800.000 selama 25 tahun. Jika bank member suku bunga 5% pertahun.
Tentukan jumlah simpanan uang Rafi!
Penyelesaian
Diketahui : M
= Rp800.000,00, i =
5% , dan t =25
= 800.000,00 + 800.000,00
X
= 800.000,00+ (800.000,00
X 46,7270988)
= 800.000,00 + 37.381.679,04 = Rp38.181.679,04
Jadi, jumlah uang
yang diterima Rafi adalah Rp38.181.679,04
D.
Nilai
Tunai Rente
Nilai tunai
rente adalah jumlah nilai tunai dari semua angsuran yang diperhitungkan pada
awal transaksi.
1.
Nilai Tunai Rente Pranumerando
Nilai
Tunai Rente Pranumerando yaitu jumlah nilai tunai dari semua pembayaran
angsuran pranumerando yang dihitung pada permulaan jangka waktu pembayaran
pertama. Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun, dengan
suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai dari angsuran itu dapat
dicari dengan cara sebagai berikut.
Angsuran
Ke-
|
Besar Angsuran
|
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
|
Nilai akhir setelah n periode
|
1
|
M1
|
0
|
M
|
2
|
M2
|
1
|
|
n - 1
|
Mn-1
|
n – 2
|
|
N
|
Mn
|
n – 1
|
|
Nilai Tunai Rente
|
Maka dapat dilihat
dari tabel tersebut bahwa nilai tunai dari rente pranumerando adalah jumlah
nilai tunai dari setiap angsurannya, sehingga dapat diuraikan sebagai berikut.
Ini merupakan bentuk
deret geometri dari rente pranumerando. Ada dua cara untuk menentukan nilai
tunai rente pranumerando, yaitu:
Ø
Cara I
Dengan meggunakan
notasi sigma, maka perhitungan diatas dapat ditulis sebagai berikut.
Ø Cara II
Dengan menggunakan rumus jumlah deret
geometri untuk menentukan nilai akhir rente pranumerando dengan
dan
maka nilai tunai rente pranumerando dapat
ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
v
Contoh
Sebuah perusahaan
tempe mempunyai kewajiban untuk membayar angsuran ke bank dengan jumlah yang
sama yaitu Rp3.000.000,00 setiap tanggal 1 Januari selama 5 tahun. Angsura
pertama dibayar pada tanggal 1 Januari 2005. Apabila perusahaan tempe ingin menyelesaikan
kewajiban tersebut seluruhnya pada tanggal 1 Januari 2005, maka berapakah besar
yang harus dibayar jika bank memberikan bungan
setahun?
Penyelesaian:
Diketahui : M
= Rp3.000.000,00, i =
, dan n =5
=
=
= Rp3.000.000,00 (1 + 3,6730792)
= Rp3.000.000,00(4,6730792) =
Rp14.019.237,6
Jadi, perusahaan
tempe harus membayar Rp14.019.237,6
2.
Nilai Tunai Rente Postnumerando
Nilai
Tunai Rente Postnumerando yaitu jumlah nilai tunai dari semua pembayaran
angsuran postnumerando dihitung pada awal jangka waktu pembayaran pertama. Misalkan
dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun, dengan suku bunga majemuk
(i) per tahun. Maka nilai tunai (Nt post) dari angsuran itu dapat
dicari dengan cara sebagai berikut :
Angsuran
Ke-
|
Besar Angsuran
|
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
|
Nilai akhir setelah n periode
|
1
|
M1
|
1
|
|
2
|
M2
|
2
|
|
n – 1
|
Mn-1
|
n – 1
|
|
n
|
Mn
|
N
|
|
Nilai Tunai Rente
|
Maka dari tabel
tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
Ø
Cara I
Dengan menggunakan
rumus sigma, maka dapat ditulis sebagai berikut.
Ø
Cara II
Dengan
mengaplikasikan deret geometri maka nilai tunai rente postnumerando dapat
ditulis dengan rumus sebagai berikut.
v
Contoh
Sebuah panti jompo
akan menerima bantuan sebesar Rp200.000,00 setiap akhir bulan dari sebuah
perusahaan mulai 31 Maret 2010 sampai dengan akhir Desember 2011. Jika bantuan
tersebut dibayarkan sekaligus pada akhir Maret2010 dengan pehitungan bunnga
3,5% sebulan. Berapakah jumlah yang akan diterima panti jompo tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui : M
= Rp200.000,00, i = 3,5% , dan t =20
=
= Rp200.000,00 X 14,2124033 =
Rp2.842.480,66
Jadi,
panti jompo menerima uang Rp2.842.480,66
E.
Rente
Kekal
Rente kekal
adalah rente yang pembayaran angsurannya dilakukan selama jangka waktu yang
tidak terbatas. Untuk rente kekal hanya dapat dibicrakan nilai tunainya saja.
1.
Rente Kekal Pranumerando
Rente
kekal pranumerando adalah rente yang pembayaran angsurannya dilakukan setiap
awal periode dalam waktu yang tidak terbatas (selamanya).
Seperti contoh, jika
panti asuhan menerima bantuan pada setiap awal bulan dari perusahaan sebesar M
secara terus menerus. Akan tetapi pengurus panti menginginkan agar bantuan
tersebut dibayarkan sekaligus pada awal masa bunga pertama. Jika diperhitungkan
dengan suku bunga majemuk p% sebulan, hitunglah nilai tunai yang diterima oleh panti asuhan
tersebut. Maka dapat diuraikan sebagai berikut.
Angsuran
Ke-
|
Besar Angsuran
|
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
|
Nilai akhir setelah n periode
|
1
|
M1
|
0
|
M
|
2
|
M2
|
1
|
|
3
|
M3
|
2
|
|
Nilai Tunai Rente
|
Maka dari tabel
tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
Maka dari sebuah
deret geometri tak hingga tersebut dengan
dan
.
Dengan
mengaplikasikan deret geometri tak hingga tersebut, maka diperoleh rumus nilai
tunai rente pranumerando sebagai berikut.
v
Contoh
Suatu yayasan panti
asuhan setiap awal bulan selalu menerima bantuan dari sebuah donator sebesar
Rp2.000.000,00 secara terus menerus. Pengurus panti menginginkan agar bantuan
tersebut dibayarkan saja sekaligus pada awal masa bunga pertama. Jika
diperhitungkan dengan suku bunga majemuk 3% sebulan. Maka hitunglah nilai tunai
yang diterima panti asuhan tersebut.
Penyelesaian
Diketahui : M = Rp2.000.000,00
dan i = 3% = 0,03
= Rp2.000.000,00 +
= Rp2.000.000,00 + Rp100.000.000,00 = Rp102.000.000,00
Jadi, jumlah uang yang diterima panti asuhan adala Rp102.000.000,00
2.
Rente Kekal Postnumerando
Rente
kekal postnumerando adalah rente yang pembayaran angsurannya dilakukan setiap
akhir periode dalam waktu yang tidak terbatas (selamanya).
Seperti contoh, ayah
Dimas adalah veteran pejuang kemerdekaan, karena itu mulai tanggal 31 Januari
2007 Dimas mendapat beasiswa sebesae M secara terus-menerus. Jika Dimas
ingin menerima beasiswa tersebut sekaligus pada tanggal 1 Januari 2007
diperhitungkan dengan bunga p% sebulan, maka berapakah jumlah yang akan
Dimas, hal ini akan dijelaskan sebagai berikut.
Angsuran
Ke-
|
Besar Angsuran
|
Mengalami pembungaan sebanyak … kali
|
Nilai akhir setelah n periode
|
1
|
M1
|
0
|
|
2
|
M2
|
1
|
|
3
|
M3
|
2
|
|
Nilai Tunai Rente
|
Maka dari tabel
tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
Maka dari sebuah
deret geometri tak hingga tersebut dengan
dan
.
Denngan mengaplikasikan
deret geometri tak hingga tersebut, maka diperoleh rumus nilai tunai rente
postnumerando sebagai berikut.
v Contoh
Tentukan nilai tunai rente kekal postnumerando dari
suatu modal Rp40.000 dengan suku bunga 0,75%!
Penyelesaian
Diketahui : M = Rp40.000 dan i = 0,75%
=
= Rp5.333.333,33
Jadi nilai tunai rente kekal postnumerando adalah
Rp5.333.333,33
F.
Rente
yang Ditangguhkan
Semua rente di
atas adalah rente langsung, yaitu rente yang angsurannya dibayar sejak awal
periode. Rente yang ditangguhkan adalah rente yang angsurannya dilakukan
setelah beberapa periode (angsuran pertama).
Perhitungan
pada rente ini adalah nilai tunai yang dirumuskan sebagai berikut.
v Contoh
Pada tanggal 1 Januari 2007 Agusta meminjam uang di
bank. Pinjaman itu akan dilunasi dengan cara mencicil dengan jumlah angsuran
yang sama, yaitu Rp200.000 setiap awal bulan. Anngsuran pertama dibayar pada
tanggal 1Mei 2007 dan seterusnya hingga berakhir pada tanggal 1 Desember 2007,
jika diperhitungkan dengan suku bunga majemuk 3% sebulan. Berapakah besar
pinjaman Agusta pada tanggal 1 Januari 2007 itu?
Penyelesaian
Diketahui : M = Rp200.000, i = 3% per bulan, s = 4
bulan dan n = 12
=
=
6.666.666,67 ( 0,91514 – 0,72242)
=
Rp1.284.811,06
Jadi, besar pinjaman Agusta adalah Rp1.284.811,06
DAFTAR PUSTAKA
Sarjono,
Bandung A. Dkk. 2008. Matematika SMK
Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Derektorat Pembinaan Sekolah Menengah
Kejuruan.
Pratikno,
dkk. 2008. Mahir Matematika untuk SMK
(NonTeknik) Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan
Nasional.
Kuriawan,
A, dkk. 2010. Matematika Kelas XI SMK
Kelompok Akuntansi dan penjualan
Nama saya Aditya Aulia saya mengalami trauma keuangan karena saya ditipu dan ditipu oleh banyak perusahaan pinjaman online dan saya pikir tidak ada yang baik bisa keluar dari transaksi online tapi semua keraguan saya segera dibawa untuk beristirahat saat teman saya mengenalkan saya. untuk Ibu pada awalnya saya pikir itu masih akan menjadi permainan bore yang sama saya harus memaksa diri untuk mengikuti semua proses karena mereka sampai pada kejutan terbesar saya setelah memenuhi semua persyaratan karena permintaan oleh proses saya bisa mendapatkan pinjaman sebesar 350jt di rekening Bank Central Asia (BCA) saya saat saya waspada di telepon saya, saya tidak pernah mempercayainya, agaknya saya bergegas ke Bank untuk memastikan bahwa memang benar ibu kontak sekarang mengalami terobosan pemanasan jantung dalam kehidupan finansial Anda melalui apakah itu BBM INVITE-nya: {D8980E0B} atau apakah kamu ingin mengkonfirmasi dari saya? Anda bisa menghubungi saya melalui surat saya: {aditya.aulia139@gmail.com} dan juga Anda bisa menghubungi perusahaan ISKANDAR LESTARI LOAN COMPANY (ISKANDAR LENDERS) via: {mail:iskandalestari.kreditpersatuan@gmail.com}
BalasHapuse_mail:::[aditya.aulia139@gmail.com]
[iskandalestari.kreditpersatuan@gmail.com]
WhatsApp:::[+44] 7480 729811[Chats Only]
Telephone Number☎[+44] 7480 729811[Calls Only]
BBM INVITE:::[D8980E0B]